Quem nunca brincou de adivinhar cara ou coroa de uma moeda?
Alberto chegou do trabalho, e seu filho Albertinho veio correndo em direção ao pai sedento por sua atenção, Alberto um pai que gosta muito de brincar com seu filho pegou duas moedas em seu bolso e lançou-as em sequência de maneira independente e pediu para Albertinho escolher cara ou coroa, Albertinho todo feliz escolheu cara por achar que é a face mais bonita da moeda, portanto, Alberto informou a seguinte regra ao filho: “Se sair pelo menos uma vez cara, você ganha o desafio”. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma vez cara?
Temos que:
Nº de caras nos dois lançamentos ≥ 1
X → Nº de caras nos dois lançamentos
P(X\geq1) = ?K→ Cara
C→ Coroa
Passo 1
Quais o valores dentro do espaço amostral \omega que X pode assumir:
- Resultados possíveis nos dois lançamentos:
(K;C)→ 1
(C;K)→ 1
(K;K)→ 2
(C;C)→ 0
Os valores que X pode assumir: X:(0,1,2)
Passo 2
Qual a probabilidade de X assumir cada um desses valores?
Probabilidade = Quero/Total P(X=0) =\frac{1}{4} P(X=1) =\frac{2}{4} P(X=2) =\frac{1}{4}Somando as probabilidades, podemos afirmar:
P(X=0) + P(X=1) + (P(X=2) = 1Passo 3
Para calcular a probabilidade de sair pelo menos uma “cara”, é:
P(X\geq1) = P(X=1)+P(X=2)= \frac{2}{4} + \frac{1}{4}= \frac{3}{4}Outra maneira de resolver o problema seria pensar na Probabilidade complementar:
P(X\geq1) = 1 - P(X<1)= 1- P(X=0) = 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}Portanto, as chances de Albertinho vencer o desafio proposto pelo pai é de 75%
Variável Aleatória Discreta
Uma variável aleatória discreta são variáveis que assumem valores finitos ou infinitos enumeráveis, ou seja, o resultado não pode ser metade do valor, por exemplo:
- Lançamento de um dado (Não é possível obter o resultado 3,53)
- Número de filhos (Não é possível ser pai de 1,5 filho)
- Lançamento da moeda (Não é possível obter metade coroa)
Função de Probabilidade
São os valores possíveis da Variável Aleatória relacionados com suas probabilidades, a Função de Probabilidade f(x) em sua notação formal é:
f(a)=P(X=a)Para identificar a Função de Probabilidade de uma v.a discreta, basta montar a tabela de coluna que assume os valores de X com sua P(X).
P(X=0) =\frac{1}{4}=0,25 P(X=1) =\frac{2}{4}=0,50 P(X=2) =\frac{1}{4}=0,25| X | P(xi) |
|---|---|
| 0 | 0,25 |
| 1 | 0,50 |
| 2 | 0,25 |
Notação: P(x_i)=P(X=x_i)
Função da Distribuição Acumulada
Função que vai acumulando os valores das probabilidades. A FDA é expressa por:
F(a)=P(X\leq a) = \Sigma_{x\leq a } f(x_i)Tomando com exemplo nossa tabela da v.a, vamos pegar o F(0) :
F(0) = P(X \leq 0) P(X \leq 0) = P(X=0) = 0,25Agora, vamos utilizar o mesmo procedimento para os valores 1 e 2:
F(1) = P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) F(1) = 0,25+0,5=0,75 F(1) = 0,75O gráfico de Distribuição Acumulada começará sempre no 0 e terminará no 1
Medidas de centralidade e Dispersão para Variável Aleatória Discreta
Para desenvolver os conceitos, vamos imaginar uma universidade que possui 10.000 alunos de Economia, nossa v.a é:
X: Número\,de\,aprovações\,que\,um\,aluno\,obteve\,nas\,disciplinas\,por\,semestre| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | 0,08 | 0,20 | 0,40 | 0,28 | 0,04 |
| Alunos | 800 | 2000 | 4000 | 2800 | 400 |
O Coordenador do curso de Economia gostaria de saber o número médio de aprovações dos alunos no semestre.
Como podemos resolver este problema? Uma média aritmética, resolve? Sim, podemos fazer uma média aritmética:
Média aritmética
\bar{x}=\frac {\sum_{i=1}^{n} {x_{i}}}{n}Realizando a média da nossa v.a, obtemos:
\bar x=\frac{2*800+3*2000+4*4000+5*2800+6*400} {10000} \bar x= 4 \,AprovaçõesAgora há um outro método para calcular o número médio muito utilizado na Probabilidade, que consiste em multiplicar a nossa v.a pela sua respectiva probabilidade:
\bar x={2*0,08+3*0,2+4*0,4+5*0,28+6*0,04} \bar x= 4 \,AprovaçõesObtemos o mesmo resultado, agora podemos dizer que calculamos o Valor Esperado de X, ou seja a Esperança de X.
Esperança- medida de centralidade
E(X)=\sum _{i=1}^{n} xi . P(xi) \bar x={2*0,08+3*0,2+4*0,4+5*0,28+6*0,04} \bar x= 4 \,AprovaçõesPortanto, nossa medida esperança é 4
Medidas de dispersão
Variância e Esperança
Variância de X: Var(X) ou \sigma^2
Duas maneiras de representar a fórmula de variância
1-) Var(X)= \sum_{i=1}^{n} (xi-E(x))^2*P(xi)
Exemplo de resolução:
Var(X)= (2-4)^2*0,08+(3-4)^2*0,2+(4-4)^2*0,4+(5-4)^2*0,28+(6-4)^2*0,04 Var(X)=0,962-) Var(x)=E(X^2)-[E(X)]^2
Vamos calcular o E(X^2) que seria a esperança da variável X ao quadrado:
E(X^2)=2^2*0,08+3^2*0,2+4^2*0,4+5^2*0,28+6^2*0,04 E(X^2)=16,96Agora, sabemos que o valor de nossa Esperança [E(X)^2] é igual a 4:
[E(X)^2] = 4^2=16Portanto, Var(x)=E(X^2)-[E(X)]^2=16,96-16=0,96
Desvio Padrão
Expressa o grau de dispersão de um conjunto de dados. O desvio padrão pode ser representado, por:
X: DP(X) \, ou \, \sigmaFórmula:
DP(X)=\sqrt[] {VAR(X)}No nosso exemplo, o desvio padrão seria calculado DP(X)=\sqrt [] {0,96}
